Theo định lý công-động năng, nếu một hay nhiều ngoại lực tác động lên một vật rắn, làm cho động năng của nó biến thiên từ E k 1 {\displaystyle E_{k_{1}}} đến E k 2 {\displaystyle E_{k_{2}}} , thì công A {\displaystyle A} thực hiện bởi hợp tất cả các lực bằng với độ biến thiên động năng. Trong chuyển động tịnh tiến, định lý có thể mô tả như sau:

A = Δ E k = E k 2 − E k 1 = 1 2 m ( v 2 2 − v 1 2 ) {\displaystyle A=\Delta E_{k}=E_{k_{2}}-E_{k_{1}}={\frac {1}{2}}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})}

với m là khối lượng của vật và v là vận tốc của nó.

Định lý có thể dễ dàng chứng minh cho trường hợp lực tác dụng theo phương chuyển động theo một đường thẳng. Cho những trường hợp phức tạp hơn, ví dụ như một quỹ đạo cong hay lực biến đổi (hay cả hai), chúng ta có thể sử dụng tích phân để lấy kết quả tương đương. Trong cơ học vật rắn, một công thức tính công có thể biến đổi thì động năng bằng cách sử dụng tích phân bậc nhất của định luật 2 Newton.

Để thấy được điều này, hãy khảo sát 1 vật P chuyển động theo một quỹ đạo X → ( t ) {\displaystyle {\vec {X}}(t)} với một lực F → {\displaystyle {\vec {F}}} tác động lên đó. Định luật 2 Newton cung cấp mối quan hệ giữa lực và gia tốc của vật:

F → = m X → ″ {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {X}}''}

với m là khối lượng của vật.

Nhân vô hướng vận tốc của vật cho mỗi vế của định luật 2 Newton:

F → ⋅ X → ′ = m X → ″ ⋅ X → ′ {\displaystyle {\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}=m{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}}

Tích phân từ điểm X → ( t 1 ) {\displaystyle {\vec {X}}(t_{1})} đến điểm X → ( t 2 ) {\displaystyle {\vec {X}}(t_{2})} ta có:

∫ t 1 t 2 F → ⋅ X → ′ d t = m ∫ t 1 t 2 X → ″ ⋅ X → ′ d t . {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}dt.}

Vế trái của phương trình là công của lực tác động lên vật dọc theo quỹ đạo từ thời điểm t 1 {\displaystyle t_{1}} đến thời điểm t 2 {\displaystyle t_{2}} . Nó còn có thể được viết:

A = ∫ t 1 t 2 F → ⋅ X → ′ d t = ∫ X → ( t 1 ) X → ( t 2 ) F → ⋅ d X → {\displaystyle A=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}\cdot {{\vec {X}}'}dt=\int _{{\vec {X}}(t_{1})}^{{\vec {X}}(t_{2})}{\vec {F}}\cdot d{\vec {X}}}

Tích phân này được tính dọc theo quỹ đạo X → ( t ) {\displaystyle {\vec {X}}(t)} của vật và do đó phụ thuộc vào quỹ đạo.

Vế phải của phương trình tích phân bậc nhất định luật 2 Newton có thể được đơn giản khi sử dụng biểu thức sau:

1 2 d d t X → ′ 2 = X → ″ ⋅ X → ′ {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}{{\vec {X}}'}{}^{2}={{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}}

Biểu thức trên có thể tích phân dễ dàng để chuyển thành động năng:

Δ E k = m ∫ t 1 t 2 X → ″ ⋅ X → ′ d t = 1 2 m ∫ t 1 t 2 d d t X → ′ 2 d t = 1 2 m X → ′ 2 ( t 2 ) − 1 2 m X → ′ 2 ( t 1 ) {\displaystyle \Delta E_{k}=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\vec {X}}''}\cdot {{\vec {X}}'}dt={\frac {1}{2}}m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}{{\vec {X}}'}{}^{2}dt={\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}(t_{2})}-{\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}(t_{1})}}

với động năng của vật được định nghĩa như sau:

E k = 1 2 m X → ′ 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m{{\vec {X}}'{}^{2}}}

Và kết quả là định lý công-động năng cho vật rắn chuyển động:

A = Δ E k {\displaystyle A=\Delta E_{k}}